Question

一道函数最值题 求解

已知函数f(x)=ax^2+b^x+c的定义域是【1，-1】，对于在定义域内的任意实数x，f(x)的绝对值小于1。g(x)=cx^2+bx+a的定义域是【1，-1】。F(x)=g(x)f(x)，求F(x)的最大值。

Answer 1

F(x)的最大值≤1，
方法：因为对于在定义域内的任意实数x，f(x)的绝对值小于1，
而g(x)=cx^2+bx+a，可证g(x)的绝对值也不大于1
因此F(x)=g(x)f(x)≤1

Answer 2

所给条件无用。
令H(x)=acx^4+(a^2+b^2+c^2)x^2,h(x)=acx^2+(a^2+b^2+c^2)x,k(x)=(a+c)bx(x^2+1)
则F(x)=H(x)+ac+k(x)=h(x^2)+ac+k(x)
(1)当a、b、c中有两个为零时，答案显然。
(2)当b=0,ac不为0时，k(x)=0，h(x)对称轴在[-1，1]之外，h(x)在[-1，1]单调上升，答案显然。
(3)当ab不为0、c=0时（同理当cb不为0、a=0时），H(x)关于y轴对称，最大值在x=1、x=-1取得；此时k(x)，奇函数，在[-1,1]单调，最大值在x=1或x=-1取得；所以，F(x)最大值在x=1或x=-1取得，为(a+b+c)^2、(a-b+c)^2中较大者。
(4)当abc不为0时，讨论过程、结果与（3）相同
综上所述，F(x)最大值在x=1或x=-1取得，为(a+b+c)^2、(a-b+c)^2中较大者。