Question

已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M。

（1）直接写出直线L的解析式；
（2）设OP=t，三角形OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出当0小于t小于2时，S的最大值；
（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得三角形CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：由题意得

（1）y=1-x；

（2）∵OP=t，

∴Q点的横坐标为  ，

①当  ，即0＜t＜2时，  ，

∴S△OPQ=  t（1-  t）．

②当t≥2时，QM=|1-  t|=  t-1，

∴S△OPQ=  t（  t-1）．

∴ 

当0＜  t＜1，即0＜t＜2时，S=  t（1-  t）=-  （t-1）2+  ，

∴当t=1时，S有最大值  ；

 （3）由OA=OB=1，

所以△OAB是等腰直角三角形，

若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，

则PQ=QC，

所以OQ=QC，又L1‖x轴，则C，O两点关于直线L对称，

所以AC=OA=1，得C（1，1）．下面证∠PQC=90度．连CB，则四边形OACB是正方形．

①当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图-1．

由对称性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP，

∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°，

∴∠PQC=360°-（∠QPB+∠QCB+∠PBC）=90度．

②当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图-2，如如图-3

∵∠QPB=∠QCB，∠1=∠2，

∴∠PQC=∠PBC=90度．

③当点Q与点B重合时，显然∠PQC=90度．

综合①②③，∠PQC=90度．

∴在L1上存在点C（1，1），使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．