Question

高一数学题。

1.若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则这个函数是什么？
2.设函数y=f(x)满足：对任意x∈R都有f(x)>0,且f(x+y)=f(x)·f(y)（x,y∈R），则判断g(x)=[1+f(x)]/[1-f(x)]是否具有奇偶性并证明结论。
3.已知函数f(x)=[x2+ax+a]/x,x∈[1,+∞),且a<1,则
<1>判断f(x)的单调性并证明
<2>若m满足f(3m)>f(5-2m),试确定m的取值范围
<3>若函数g(x)=x·f(x)对任意x∈[2,5]时，g(x)+2x+3/2>0恒成立，求a的取值范围
请对所做出的答案进行一些解释，更请写出步骤，谢谢!

Answer 1

1、y=x^(-1),x的-1次幂
2、令x=y=0,则f(0)=f(0)^2,f(0)(f(0)-1)=0,f(0)>0,f(0)=1,令式f(x+y)=f(x)·f(y)中y=-x,得f(-x)=1/f(x),代入g(-x)=[1+f(-x)]/[1-f(-x)]中，推出g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数。
3、(1)证明：令x2>x1>1,f(x2)-f(x1)=(x2^2+ax2+a)/x-(x1^2+ax1+a)/x=(x1x2^2+ax1-x2x1^2-ax2)/x1x2=[(x2-x1)(x1x2-a)]/x1x2>0,所以f(x)单调递增。
（2）由定义3m>1,5-2m>1,由递增函数3m>5-2m，联立以上3式，得1<m<2。
（3）g(x)=x·f(x)=x^2+ax+a,令h(x)=g(x)+2x+3/2=x^2+（a+2）x+a+3/2。1）当-(a+2)/2<2，即a>-6,h(2)=4+2a+4+a+3/2>0,a>-19/6，所以a>-19/6；2）-(a+2)/2>5，a<-12时h(5)=25+5a+10+a+3/2=6a+73/2>0,a>-73/12,a不存在，综1）、2）所述a>-19/6。

Answer 2

1.f(x)=1/x,
2.猜想f(x)=a^x,
3.。。。。。。。。。。。题意不清