Question

求助圆锥曲线问题？

设A.B是椭圆x2/a2+y2/b2=1长轴上的两个端点,P1P2是垂直于AB的弦,求直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程

Answer 1

解：由于A,B为椭圆长轴两个端点
则有：A(-a,0),B(a,0)
因为P1P2是垂直于AB的弦
则设P1(x0,y0),则P2(x0,-y0)
设k为斜率
则kAP1=(y0-0)/[x0-(-a)]=y0/(x0+a)
kBP2=[0-(-y0)]/(a-x0)=y0/(a-x0)
则直线AP1：y=[y0/(x0+a)]*(x+a)
直线BP2：y=[y0/(a-x0)]*(x-a)
联立得：x=a^2/x0,y=ay0/x0
即P(a^2/x0,ay0/x0)
因为x/y=a/y0,
则y0=ay/x且x0=a^2/x
又因为P1(x0,y0)在椭圆上
则将上式代入椭圆，得：
(a^2/x)^2/a^2+(ay/x)^2/b^2=1
整理得：x^2/a^2-y^2/b^2=1 (x>a)
即P的轨迹方程：
x^2/a^2-y^2/b^2=1 (x>a)