Question

有几道关于定积分的题不会 希望有人可以帮帮我

Answer 1

第一题:先求得不定积分
∫e^2x*cosx dx
=∫e^2x d(sinx)
=e^2x*sinx-∫sinx d(e^2x)
=e^2x*sinx-2∫e^2x*sinx dx
=e^2x*sinx-2∫e^2x d(-cosx)
=e^2x*sinx+2∫e^2x d(cosx)
=e^2x*sinx+2e^2x*cosx-2∫cosx d(e^2x)
=e^2x*sinx+2e^2x*cosx-4∫e^2x*cosx dx
∵5∫e^2x*cosx dx=e^2x*sinx+2e^2x*cosx
∴∫e^2x*cosx dx=1/5*(e^2x*sinx+2e^2x*cosx)+C
而∫(0到π/2) e^2x*cosx dx,将上下限代入上式
=1/5*(e^π-2)
第二题:
∫sin(lnx) dx
令u=lnx,x=e^u,dx=e^u du
原式=∫e^u*sinu du
=∫e^u d(-cosu)
=-e^u*cosu+∫cosu d(e^u)
=-e^u*cosu+∫e^u*cosu du
=-e^u*cosu+∫e^u d(sinu)
=-e^u*cosu+e^u*sinu-∫sinu d(e^u)
=e^u*sinu-e^u*cosu-∫e^u*sinu du
∵2∫e^u*sinu du=e^u*sinu-e^u*cosu
∴∫e^u*sinu du=1/2*e^u*(sinu-cosu)+C
=1/2*e^lnx*[sin(lnx)-cos(lnx)]+C
=x/2*[sin(lnx)-cos(lnx)]+C
而∫(1到e) sin(lnx) dx
=1/2*(1+esin1-ecos1)