Question

a、b、c、d个代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11的倍数，cdab是9的倍数，dabc是7的倍

a、b、c、d个代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11的倍数，cdab是9的倍数，dabc是7的倍数，那么abcd=？

Answer 1

根据被9整除的数各位数字和能被9整除，和被11整除的数奇偶位数字和之差被11整除的性质，有：
A + B + C + D = 9P
A - B + C - D = 11Q

因为A + B + C + D、A - B + C - D必同奇偶，且A + B + C + D > A - B + C - D
因此只可能有：
A + B + C + D = 18
A - B + C - D = 0
即得：
A + C = 9
B + D = 9
A与C，B与D，奇偶性必相异。也推得A与D，B与C奇偶性必相异

根据被7、13整除的数“截3法”，有：
100B + 10C + D - A
= 99B + B + D + 11C - A - C
= 99B + 11C + 9 - 9
= 11(9B + C) 能被13整除，即9B + C能被13整除，因
9B + C = 13、26、39、52、65、78
(B，C) = (1，4) 或(2，8)或(4，3)或(5，7)或(7，2)或(8，6)，则对应地：
(D，A) = (8，5) 或(7，1)或(5，6)或(4，2)或(2，7)或(1，3)。

又有
100A + 10B + C - D
= 99A + A + C + 11B - B - D
= 99A + 11B + 9 - 9
= 11(9A + B)能被7整除，即9A + B能被7整除，即2A + B能被7整除。
代入上述解，仅：
①
(B，C) = (7，2)
(D，A) = (2，7)
或
②
(B，C) = (8，6)
(D，A) = (1，3)
符合。因数字不能重复，只剩解②符合。
因此A = 3、B = 8、C = 6、D = 1
ABCD = 3861