Question

若一直线与抛物线y^2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA垂直于OB,点O在直线AB上的射影为D(2,1）求抛物线方程

Answer 1

解：设A（x1，y1)B(x2，y2)
由于OD斜率为1/2，OD⊥AB
则AB斜率为-2，
故直线AB方程为2x+y-5=0……①
将（1）代入抛物线方程得
y^2+py-5p=0
则y1y2=-5p
因(y1)^2=2px1；(y2)^2=2px2
则(y1y2)^2=4(p^2)x1x2
故x1x2=25/4
因OA⊥OB
则x1x2+y1y2=0
p=5/4
∴抛物线方程：y^2=5x/2

Answer 2

解：设A（x1，y1)(x2，y2)
由于OD斜率为1/2，OD⊥AB
则AB斜率为-2，
故直线AB方程为2x+y-5=0……（1）
将（1）代入抛物线方程得
y^2+py-5p=0
则y1y2=-5p
因(y1)^2=2px1；(y2)^2=2px2
则(y1y2)^2=4(p^2)x1x2
故x1x2=25/4
因OA⊥OB
则x1x2+y1y2=0
p=5/4