Question

一道有关排列组合的数学题。

在数1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5的排列出现的概率为？

答案是2/15.计算公式是:
m=c12(A33+A22),n=A55。
P=m/n

C和A后面的都是前面一个数在上面，下面一个数在下面。
请问C12是怎么选的。

Answer 1

首先，数1,2,3,4,5的全排列种类有P(5,5)=5!=120种，题意要求满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5，则可看出a2和a4在数列种较大，所以a2和a4只能是345中的两个，所以可得组合34、35、45三个，因为34中的任何一个数都小于5，所以34组合不符合题意，现分别讨论如下：
一、当a2和a4分别是3和5时有：
a1=1或2， a2=3 ，a3 =1或2，a4 =5，a5=4
所以排列方法有：C(2,1)*C(1,1)*C(1,1)*C(1,1)*C(1,1)=2种
当a2和a4分别是5和3时，同理得排列方法2种，故当a2和a4是3和5时，数列1,2,3,4,5满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5的排列方法有2+2=4种
二、当a2和a4是4和5时有：
a1=1、2或3， a2=4或5，a3 =1、2或3，a4 =5，a5=1、2或3
所以排列方法有：C(3,1)*C(2,1)*C(2,1)*C(1,1)*C(1,1)=12种
故当a2和a4是4和5时，数列1,2,3,4,5满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5的排列方法有12种

所以数1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5的排列出现的概率为(4+12)/120=2/15

Answer 2

a1,a2,a3,a4,a5中，满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5有
a1,a2,a3中a2最大，a3,a4,a5中a4最大，
∴当(a2,a4)=(4,5)或(5,4)时（a1,a3,a5)可以是1，2，3的全排列,有c(2,1)*A(3,3)种；
当(a2,a4)=(3,5)或(5,3)时a5或a1=4,剩下的两个位置是1，2的全排列，有c(2,1)*A(2，2)种.
还有疑问吗？

Answer 3

嗯，答案没有错。不过我用的是另外的方法。
m=2*2+A33 * 2=16.,n=120.答案为2/15.不懂hi

Answer 4

首先，5个数的排列一共有P(5,5)=5!=120种，题意要求满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，所以a2最大，同理a4最大。所以a2和a4只能是345中的两个，所以可得组合34、35、45三个，因为34中的任何一个数都小于5，且a2或a4在5个数中最大，所以34组合不符合题意，现分别讨论如下：
一、当a2和a4分别是3和5时有：
a1=1或2， a2=3 ，a3 =1或2，a4 =5，a5=4
所以排列方法有：C(2,1)*C(1,1)*C(1,1)*C(1,1)*C(1,1)=2种
当a2和a4分别是5和3时，同理得排列方法2种，故当a2和a4是3和5时，数列1,2,3,4,5满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5的排列方法有2+2=4种
二、当a2和a4是4和5时有：
a1=1、2或3， a2=4或5，a3 =1、2或3，a4 =5，a5=1、2或3
所以排列方法有：C(3,1)*C(2,1)*C(2,1)*C(1,1)*C(1,1)=12种
故当a2和a4是4和5时，数列1,2,3,4,5满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5的排列方法有12种

所以数1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足a1 <a2 ，a2 >a3 ，a3<a4 ，a4 >a5的排列出现的概率为(4+12)/120=2/15