Question

一道初三数学题，关于抛物线的，请各位指点！（尽量详细）

已知抛物线y=ax的平方+bx+c的顶点坐标为(2,4)
（1)使用含a的代数式分别表示b,c
（2）若直线y=kx+4(k不为零）与y轴及该抛物线的交点依次为D,E,F,且S三角形ODE：S三角形OEF=1：3，其中O为原点坐标，试用含a的代数式表示k
（3）在（2）的条件下，若直线EF的长m满足大于等于3倍根号2且小于等于3倍根号5，是确定a的取值范围。

Answer 1

(1)抛物线y=ax的平方+bx+c的顶点坐标为(2,4)
-b/2a=2
b=-4a
y(2)=4a+2b+c=4
c=4+4a
(2)S三角形ODE：S三角形OEF=1：3
DE:EF=1:3
xE:xF=1:4
y=ax^2-4ax+4+4a
y=kx+4
ax^2-(4a+k)x+4a=0
xExF=4
xE=1,xF=4或
xE=-1,xF=-4
xE+xF=5或xE+xF=-5
4+k/a=5或4+k/a=-5
k=a或k=-9a
判别式=8ak+k^2>0
(3)
m^2=(xE-xF)^2+(yE-yF)^2=(xE-xF)^2+k^2*(xE-xF)^2=(k^2+1)[(xE+xF)^2-4xE*xF]=
=(k^2+1)(25-16)= 9(k^2+1)∈(18,45)
(k^2+1)∈(2,5)
[1]
k=a
a^2∈(1,4)
a∈(-2,-1)∪(1,2)
[2]
k=-9a
81a^2∈(1,4)
a∈(-2/9,-1/9)∪(1/9,2/9)
故a∈(-2,-1)∪(-2/9,-1/9)∪(1/9,2/9)∪(1,2)

Answer 2

（1)使用含a的代数式分别表示b,c
已知抛物线y=ax的平方+bx+c的顶点坐标为(2,4)
所以抛物线可设为y=a（x-2)^2+4=ax^2-2ax+4a+4
所以b=-2a
c=4a+4
（2）若直线y=kx+4(k不为零）与y轴及该抛物线的交点依次为D,E,F,且S三角形ODE：S三角形OEF=1：3，其中O为原点坐标，试用含a的代数式表示k
D（0，4）
设 E(x1,y1) F(x2,y2）
y=kx+4
y=a（x-2)^2+4
ax^2-(4a+k)x+4a=0
x1+x2=(4a+k)/a
x1*x2=4
y1-y2=k（x1-x2）
因为S三角形ODE：S三角形OEF=1：3，两三角形等高
所以OE/EF=1/3
[X1^2+(Y1-4)^2]/[(X1-X2）^2+(Y1-Y2)^2]=1/9
式子太繁琐了自己算吧