Question

若a，b，c＞0且a（a+b+c）+bc=4-2根号3，则2a+b+c的最小值为

Answer 1

解:
由已知得：a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)=4-2√3=√(√3-1)^2，由均值不等式得：
2a+b+c
=(a+b)+(a+c)
≥2√[(a+b)(a+c)]
=2√(4-2√3)
=2√(√3-1)^2
=2(√3-1)
=2√3-2
因此，2a+b+c的最小值为：2√3-2。

附：均值不等式为：对于正数x、y，有
x+y≥2√xy
因为(√x-√y)^2≥0，展开即得。

Answer 2

设a+b+c=x
则ax+bc=4-2根号3
又bc<=(b+c)^2/4=(x-a)^2/4
所以(4-2根号3)-ax<=(x-a)^2/4
化简得x^2+a^2+2ax>=4(4-2根号3)
所以2a+b+c=x+a>=2根号3-2

Answer 3

解:
∵a(a+b+c)
≤(1/2)[a2+(a+b+c)2]
bc≤(1/2)(b2+c2)
∴a(a+b+c)+bc≤(1/2)[
a2+(a+b+c)2+
b2+c2]
∵(1/2)[
a2+(a+b+c)2+
b2+c2]=
a2+
b2+c2+ab+bc+ac
=
(2a+b+c)2-3(a2+ab+bc+ac)
∴a(a+b+c)+bc≤(2a+b+c)2-3(a2+ab+bc+ac)
∴4[
a(a+b+c)+bc]=4(4-2根号3)=4（根号3
-1）2≤(2a+b+c)2
∴2（√3
-1）≤2a+b+c
即2a+b+c的最小值是
2√3-2