Question

高数证明题，关于中值定理

设函数f(x)在[1,2]上连续，在(1,2) 内可导，且f(2)=0，F(x)=(x-1)f(x),证明：至少存在一点ξ∈(1,2)使得F'(ξ）＝0。

Answer 1

证：由题可得F（1）=（1-1）*f(1)=0
F(2)=(2-1)*f(2)=0
又因为f(x)在[1,2]上连续，在(1,2) 内可导，则易证F(x)[1,2]上连续，在(1,2) 内可导
则因为 F(1)=F(2)=0 且F(x)[1,2]上连续，在(1,2) 内可导
所以根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(1,2)使得F'(ξ）＝0。

Answer 2

函数f(x)在[1,2]上连续，在(1,2) 内可导
因为x-1 连续可导
所以F（x）也可导
F(2)=0 F(1)=0
由这个条件可知 符合 罗尔中值定理
F'(ξ)=[F(2)-F(1)]/(2-1) =0

Answer 3

证明 F1=F2=0所以根据柯西中值定理 一二之间必有一点导数等于零