Question

设F1，F2分别是椭圆x^2/5+y^2/4=1的左右焦点

1，若P是该椭圆上的一个动点，求向量PF1*向量PF2的最大值和最小值。
2，是否存在过点A（5，0）的直线与椭圆交于不同的两点C，D。使得/F2C/=/F2D/？若存在，求直线L的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1）设 P点坐标为（√5sinθ,2cosθ） F1(-1,0) F2(1,0)
PF1=(-1-√5sinθ,-2cosθ)
PF2=(1-√5sinθ,-2cosθ)
PF1*PF2=5sinθ^2-1+4cosθ^2=sinθ^2+3=(1-cos2θ)/2+3
（PF1*PF2）max=4
（PF1*PF2）min=3
2）假设存在这样的直线：y=kx+b 5k+b=0 k=-b/5
连接F2C，F2D，并作F2 垂直于CD，交直线y与H,△F2CD为等腰△
设C 点的坐标为（x1,y1）D 点的坐标为（x2,y2）
∴ DH点的坐标为（x1+x/2,y1+y2/2）
DH的斜率为：5/b
把y=kx+b和x^2/5+y^2/4=1联立，并消去y：
（20+b^2）x^2-10b^2x+25b^2-100=0
根据二次方程定理：
x1+x2=10b^2/(20+b^2)
x1+x2/2=5b^2/(20+b^2)
同理：（y1+y2）/2=20b/(20+b^2)
∴直线的斜率也可以用k2=20b/(20+b^2)-0/（5b^2/(20+b^2)-1）=5/b
4b^2=4b^2-20
方程b无解
故不存在直线
使得/F2C/=/F2D/
完毕~
祝你新年快乐~

Answer 2

第一问你都问，不会动动手吗？设p点坐标为(x,y)然后把F1F2坐标都表示出来，然后把那两个向量表示出来，求出数量积，然后和椭圆方程联系一下，就可以得到一条抛物线，根据x，y的取值范围即可求解！你第二小题没写错吧？