Question

导数数学题

已知b>-1,c>0.函数F(x)=X+b的图像与函数g(x)=x^2+bx+c的图像相切
（1)求b与c的关系式(用c表示b)
(2)设F(x)=f(x)g(x)在定义域为全体实数内有极值点，求C的取值范围

Answer 1

已知b>-1,c>0.函数f(x)=X+b的图像与函数g(x)=x^2+bx+c的图像相切
（1)求b与c的关系式(用c表示b)
(2)设F(x)=f(x)g(x)在定义域为全体实数内有极值点，求C的取值范围
解：（1）令g′(x)=2x+b=1,解得x=(1-b)/2,切点既在直线f(x)上，也在曲线g(x)上，
故有 (1-b)/2+b=[(1-b)/2]²+b(1-b)/2+c
由此得：c=(b+1)²/4或 b=-1±2√c
(2).F(x)=(x+b)(x²+bx+c)=x³+2bx²+(c+b²)x+bc
令F′(x)=3x²+4bx+c+b²=0。。。。。。。（1）
∵F(x)有极值点，∴（1）的判别式△＝16b²-12(c+b²)=4b²-12c≥0
故c≤b²/3 (c的大小与b有关，已知b>-1）。
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Answer 2

(1) 因为 f(x)=x+b ，所以其斜率为1 。
对函数 g(x)=x^2+bx+c 求导，得 g'(x)=2x+b 。
所以 2x+b=1 ，即 x=(1-b)/2 。
因两函数相切，所以有 x+b=x^2+bx+c ，
即有 (1-b)/2 +b=[(1-b)/2]^2+b[(1-b)/2]+c
解得：b=2 c^(1/2)-1