Question

在Rt三角形ABC中，角C=90度，AC=4cm，BC=3cm。，若动点P从A点出发，以每秒2cm的进

Answer 1

在Rt三角形ABC中，角C=90度，AC=4cm，BC=3cm。，若动点P从A点出发，以每秒2cm的进度沿线段AC CB向B点运动；动点P Q同时停止运动。设点P Q同时出发，并运动了t秒

（1）当t为何值时，动点P在三角形ABC的内角平分线上？

（2）设三角形APQ的面积为S，写出S关于t函数关系式，并指出自变量的取值范围。
??????

解：
(1)PQ//BC得到AQ/AC=AP/AB,很容易算得AB=5(勾股定理(4^2+3^2)^(1/2)=5)
AQ=2t，AP=5-t。得，2t/4=(5-t)/5解得t=10/7
(2)因为三角形的面积AQP=1/2sinA*AQ*AP.sinA=3/5
所以Saqp=1/2*（3/5）*2t*（5-t）=-0.6t^2+3t即Saqp=-0.6t^2+3t)(0<t<2)

(3)Rt三角形ACB的周长=3+4+5=12，Rt三角形ACB的面积=（1/2）*3*4=6，
PQ恰好把Rt三角形ACB的周长平分。
即有AP+AQ=12/2=6，即2t+5-t=6得t=1，
PQ恰好把Rt三角形ACB的面积平分，
即有Sapq=（1/2）*6=3
即=-0.6t^2+3t=3，显然，代入t=1等式不成立，
所以不存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt三角形ACB的周长和面积同时平分
(4)由题意可以知道，四边形PQP'C为菱形，那么PC=PQ,
因为 PC=（PB^2+CB^2-2*PB*CB*cosB）^(1/2),由图知道cosB=0.6，
=（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)
PQ=（AP^2+AQ^2-2*AP*AQ*cosA）^(1/2),由图知道cosA=0.8
=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）^(1/2),
PC=PQ，
则（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）^(1/2),
即
（t^2+3^2-2*t*3*0.6）=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）>0
解得移项后得7.2t^2-22.4t+16=0解得t=2（因为0<t<2舍去）or t=1.11111
代入t=1.11111入PC=（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)=2.4969约为2.5