Question

函数f(x)对一切实数x，y均有f(x+y)-f(x)=(X+2Y+1)X成立，，且f(1)＝0。

1.求f(0)的值
2.当0<= x <=1/2时，f(x)+3 <2x+a恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(Ⅰ)令y=0,x=1代入已知式子f(x+y)－f(y)=(x+2y+1)x
得f(1)－f(0)=2,
∵f(1)=0,
∴f(0)=－2;

(Ⅱ)在f(x+y)－f(y)=(x+2y+1)x中令y=0得f(x)+2=(x+1)x
所以f(x)=x2+x-2.
由f(x)+3<2x+a得x2－x+1－a<0
因g(x)=x2－x+1－a在(0, 1/2)上是减函数，
要x2－x+1－a<0恒成立，只需g(0) ≤0即可，
即1－a≤ 0, a≥ 1