Question

数学问题，急急急急！！

已知圆C：x^2+（y-1）^2=1，（1）点P（X,Y）是直线L：kx+y+4=0（k>0）上一动点，PM、PN是圆C的两条切线，M、N为切点，求当四边形PMCN面积最小值为2时k的值。（2）设A、B是圆C：x^2+（y-1）^2=1上两点，且满足∣OA∣∣OB∣=1(0为坐标原点)，试问是否存在圆心在原点的定圆S与直线AB恒相切。

Answer 1

（1）设点P的坐标为(xp,yp)，连接PC。
则PC^2=xp^2+(yp-1)^2
由题可知圆C的半径为1
∴PM^2=PN^2=PC^2-1=xp^2+yp^2-2*yp
四边形PMCN的面积S=⊿PCM的面积+⊿PCN的面积
∴S^2= xp^2+yp^2-2*yp
∵k*xp+yp+4=0
∴S^2= xp^2+(-k*xp-4)^2-2*(-k*xp-4)
=(1+k^2)*xp^2+10*k*xp+24
由二次曲线方程性质可知，当xp=-10*k/[2*(1+k^2)]时，S有最小值。
Smin^2=(1+k^2)*{-10*k/[2*(1+k^2)]}^2+10*k*{-10*k/[2*(1+k^2)]}+24
=-25*k^2/(1+k^2)+24
∵Smin^2=4
∴-25*k^2/(1+k^2)+24=4
解得k^2=4,
∵k>0
∴k=2
（2）设点A的坐标为(xa,ya)，点B的坐标为(xb,yb)
则有xa^2+(ya-1)^2=1
∴2*ya=xa^2+ya^2(等式1)
xa^2=2*ya-ya^2(等式2)
同理2*yb=xb^2+yb^2(等式3)
xb^2=2*yb-yb^2(等式4)
∵∣OA∣∣OB∣=1
∴(xa^2+ya^2)*( xb^2+yb^2)=1
由等式1、3得到4*ya*yb=1(等式5)
设直线AB的方程式为y=kx+b
由直线性质可知，该直线到坐标原点O的距离h=|b|/√(1+k^2)
∵ya=k*xa+b，yb=k*xb+b
假设xa≠xb，解方程组得到
k=(ya-yb)/(xa-xb)
b=(yb*xa-ya*xb)/(xa-xb)
则h^2=( yb*xa-ya*xb)^2/[(xa-xb)^2+(ya-yb)^2]
=(yb^2*xa^2-2*xa*xb*ya*yb+ya^2*xb^2)/(xa^2-2*xa*xb+xb^2+ya^2-2*ya*yb+yb^2)
将等式2、4、5代入上式中，得到：
h^2=[(ya+yb)/2-xa*xb/2-1/8]/[2*(ya+yb)-2*xa*xb-1/2]
=1/4
h=1/2
因此，圆心在O，半径为1/2的定圆始终与直线AB相切。
当xa=xb=±1/2时，直线AB垂直X轴，则ya=1+√3/2,yb=1-√3/2
ya*yb=1/4, 满足题设条件，半径为1/2的圆与直线AB相切。
所以，圆心在原点的半径为1/2的定圆与直线AB恒相切。

Answer 2

已知圆C：x²+（y-1）²=1，（1）点P（X,Y）是直线L：kx+y+4=0（k>0）上一动点，PM、PN是圆C的两条切线，M、N为切点，求当四边形PMCN面积最小值为2时k的值。（2）设A、B是圆C：x²+（y-1）²=1上两点，且满足∣OA∣∣OB∣=1(0为坐标原点)，试问是否存在圆心在原点的定圆S与直线AB恒相切。
解：（1）园C的半径=1，故四边形PMCN面积S=2(△POM的面积）=2[(1/2)(│PM│×1)]=│PM│
=√[PC²FGGGVBCASDE

Answer 3

(1)解析：∵圆C：x^2+（y-1）^2=1，圆心C(0,-1)，半径=1
点P(x,y)是直线L：kx+y+4=0（k>0）上一动点，PM、PN是圆C的两条切线，M、N为切点
|PC|^2=x^2+(y+1)^2==>|PM|^2=|PN|^2= x^2+(y+1)^2-1
∴四边形PMCN面积S=2*1/2*1*|PN|=√(x^2+(y+1)^2-1)
Y=-kx-4
S=√(x^2+(kx+3)^2-1) =√[(1+k^2)x^2+6kx+8]
S’=1/2[2(1+k^2)x+6k]/√[(1+k^2)x^2+6kx+8]=0==>x=-3k/(1+k^2)
即当x=-3k/(1+k^2)时，S取极小值
S(min)=√[9k^2/(1+k^2)-18k^2/(1+k^2)+8] =√[8-9k^2/(1+k^2)]=2
9k^2/(1+k^2)=4==>5k^2=4==>k=2√5/5
∴当四边形PMCN面积最小值为2时k=2√5/5