Question

求复合函数的二阶偏导

Answer 1

以<>表示下标。

z = f(x-y,xy^2) = f(u,v), 其中 u = x-y, v = xy^2, 得。

z'= f'u'+f'v'= f'+y^2f'。

z'= f'u'+f'v'= -f'+2xyf'。

z''= [f'+y^2f']'= f''u'+f''v'+2yf'+y^2[f''u'+f''v']。

 = -f''+(2xy-y^2)f''2xy^3f''+2yf'上述是典型的复合连续函数求二阶偏导数，写法规范。

引入:

偏导数在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。

偏导数的表示符号为:∂。

偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

Answer 2