Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值为10，求a,b的值

Answer 1

解由函数f(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值为10，
则f（1）=10，f'（1）=0
由f（1）=1+a+b+a^2=10.........................(1)
又由f'（x）=3x^2+2ax+b
则f'（1）=3+2a+b=0.....................................(2)
即由（1）和（2）得
消b得a²-a-12=0
即a=-3或a=4
当a=-3时，b=3
当a=4时，b=-11
故f（x）=x^3-3x^2+3x+9
或f(x)=x^3+4x^2-11x+16
当f（x）=x^3-3x^2+3x+9时
f'(x)=3x^2-6x+3=3（x-1）²≥0，故不存在极值
故f（x）=x^3-3x^2+3x+9（舍去）
故f(x)=x^3+4x^2-11x+16。

Answer 2

f'(x)=3x^2+2ax+b
由题意，有f'(1)=3+2a+b=0, 即b=-3-2a
f(1)=1+a+b+a^2=10, 代入b,得：1+a-3-2a+a^2=10, 化简得：a^2-a-12=0, (a-4)(a+3)=0,得：a=4或-3
因此b=-11或3
a=4,b=-11时，f'(x)=3x^2+8x-11，x=1为极值。
a=-3,b=3时， f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2>=0,因此x=1不是极值，舍去。
因此只能为 a=4, b=-11.

Answer 3

根据条件得f（1）=10，f′（1）=0
于是有
1+a+b+a^2=10，
3+2a+b=0
解得a=4，b=-11或a=-3，b=3

Answer 4

Answer 5