已知三角形ABC中，（sinA+sinB+sinC)（sinA+sinB-sinC）=3sinAsinB求sinA+sinB的取值范围
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2014-01-23 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生，在学习上有一定的经验，擅长数学。
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解：
（sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB
由正弦定理化成边得
(a+b+c)(a+b-c)=3ab
(a+b)²-c²=3ab
a²+2ab+b²-c²=3ab
c²=a²-ab+b²
∵cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(ab)/(2ab)=1/2
∴C=π/3
∴sinA+sinB
=sinA+sin[π-(A+C)]
=sinA+sin(A+C)
=sinA+sinA/2+√3cosA/2
=3sinA/2+√3cosA/2
=√3(√3sinA/2+cosA/2)
=√3sin(A+π/6)
∵0<A<2π/3
∴π/6<A+π/6<5π/6
∴1/2<sin(A+π/6)<1
√3/2<√3sin(A+π/6)<√3
∴√3/2<sinA+sinB<√3
（sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB
由正弦定理化成边得
(a+b+c)(a+b-c)=3ab
(a+b)²-c²=3ab
a²+2ab+b²-c²=3ab
c²=a²-ab+b²
∵cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(ab)/(2ab)=1/2
∴C=π/3
∴sinA+sinB
=sinA+sin[π-(A+C)]
=sinA+sin(A+C)
=sinA+sinA/2+√3cosA/2
=3sinA/2+√3cosA/2
=√3(√3sinA/2+cosA/2)
=√3sin(A+π/6)
∵0<A<2π/3
∴π/6<A+π/6<5π/6
∴1/2<sin(A+π/6)<1
√3/2<√3sin(A+π/6)<√3
∴√3/2<sinA+sinB<√3
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