Question

讨论当γ为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷解。求出无穷解的通解。

γ（X1）+（X2）+（X3）=γ+2
（X1）+γ（X2）+2（X3）=4
2（X1）+2（X2）+γ（X3）=(γ^2)+4

Answer 1

写出方程的增广矩阵为
γ 1 1 γ+2
1 γ 2 4
2 2 γ γ^2+4 第1行减去第2行*γ，第3行减去第2行*2，交换第1和第2行
~
1 γ 2 4
0 1-γ^2 1-2γ -3γ+2
0 2-2γ γ-4 γ^2-4 第2行乘以2，第2行减去第3行*(1+γ)，交换第2和第3行
~
1 γ 2 4
0 2-2γ γ-4 γ^2-4
0 0 6-γ-γ^2 -γ^3-γ^2-2γ+8
显然系数矩阵的行列式为(2-2γ)*(6-γ-γ^2)
若系数矩阵的行列式不为0，
即γ不等于1，2或 -3，
那么增广矩阵的秩一定为3，方程组有唯一解

而若γ等于1，2或 -3，
则方程组可能无解或有无穷解，
当γ=1，增广矩阵为
1 1 2 4
0 0 -3 -3
0 0 4 4 第2行除以-3，第1行减去第2行*2，第3行减去第2行*4
~
1 1 0 2
0 0 1 1
0 0 0 0
所以方程组有无穷解，通解为c*(1,-1,0)^T +(2,0,1)^T，C为常数

当γ=2，增广矩阵为
1 2 2 4
0 -2 -2 0
0 0 0 -8
显然系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解
当γ= -3，增广矩阵为
1 -3 2 4
0 8 -7 5
0 0 0 32
显然系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解

所以综上所得，
γ不等于1，2或 -3时，方程组有唯一解，
γ=2或 -3时，方程组无解
而γ=1时，方程组有无穷解，通解为c*(1,-1,0)^T +(2,0,1)^T，C为常数

Answer 2

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追问

.......