Question

设函数f（x）满足x²f′（x）+2xf（x）=e²/x，f（2）=e²/8，则x＞0时，f（x）

设函数f（x）满足x²f′（x）+2xf（x）=e²/x，f（2）=e²/8，则x＞0时，f（x）（ ）
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
我要详细过程.......谢谢

Answer 1

x^2*f′(x)+2xf(x)=e^2/x, 即 f′(x)+(2/x)f(x)=e^2/x^3, 是一阶线性微分方程，
f(x)= e^[-∫(2/x)dx]{∫(e^2/x^3) e^[∫(2/x)dx]dx+C}
=(1/x^2)][∫(e^2/x^3) x^2 dx+C]
=(1/x^2)][∫(e^2/x) dx+C]
=(1/x^2)](e^2*lnx+C).
f(2)=(1/4)(e^2*ln2+C)=e^2/8, C=-(e^2/2)(2ln2-1)
f(x)=[e^2*lnx-(e^2/2)(2ln2-1)]/x^2.
f'(x)={e^2-2[e^2*lnx-(e^2/2)(2l2-1)]}/x^3=2e^2(ln2-lnx)/x^3
令 f'(x)=0，当x＞0时，得惟一可疑极值点 x=2，
f''(x)=2e^2(3lnx-3ln2-1)/x^4, f''(2)=-2e^2/16<0,
则x=2 是极大值点。选A。

追问

答案选D