Question

关于高数微分中值定理的问题！！

这是微分中值定理的课后习题，发现这类题好有难度！！希望您能为我指点迷津！！我将十分感谢！！

Answer 1

1. 少个f(0)=0的条件吧

   左边=[f(x)-f(0)]/(x^n-0) = f'(x1)/(nx^(n-1))   拉格朗日,x1在0和x之间

   =[f'(x1)-f'(0)]/[(nx^(n-1)) - 0] = f''(x2)/[n(n-1)x^(n-2)] 拉格朗日,x2在0和x1之间

   =....=[f(xn)]^(n)/n! = [f(θx)]^(n)/n! θ∈(0,1)

2. 设F(x)=g(x)-x=(f(x)-x)/2,F(a)=(f(a)-a)/2>0,F(b)=(f(b)-b)/2<0,所以F(a)F(b)<0,由介值定理可知,至少存在一个x*,使得F(x*)=0,即g(x*)=x*

   假设有y≠x*使得g(y)=y,即f(x*)=x*,f(y)=y,由拉格朗日中值定理可知存在t,使得

   f'(t)=[f(y)-f(x*)]/(y-x*)=1,与已知矛盾,所以不存在y≠x*且g(y)=y,即x*的值唯一

3. 在[0,a]和[b,a+b]使用拉格朗日中值定理得:

   f'(x1)=f(a)/a,f'(x2)=(f(a+b)-f(b))/a,其中0<x1<a<b<x2<a+b

   两式相减得a[f'(x2)-f'(x1)]=f(a+b)-[f(a)+f(b)]

   由已知可得:f'(x1)>=f'(x2)

   所以f(a+b)-[f(a)+f(b)]<=0,所以f(a+b)<=f(a)+f(b)

追问

第二个题需要证明它是不动点吗？

追答

不是已经证明了吗? g(t)=t的点t就叫不动点,第二题中x*就叫不动点

Answer 2

第一问 那个一连串等号应该只到n-1次，否则结论应该是n+1次，方法：直接Taylor公式在x=0点展开至n次用Lagrange余项，两边同时除以x^n,即得结果.
第二题 令F（x）=g(x)-x,目标在于证明F(x)=0在[a,b]有根，对F(x)求导,可知F(x)的导数＜0，即F(x)单调递减，又F（a）>0,F(b)<0，由介值定理，知存在x0，使得F(x0)=0,此即结论.
第三问 其实就是凸函数的一个定义，由Lagrange定理及f(x)的导数递减，可知[f(a+b)-f(b)]/[(a+b)-a]<[f(a)-f(0)]/[a-0],，给你个思路，具体证明过程应该能写出来，希望楼主能采纳，还不懂的地方可发问。,