Question

三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB

(1)求B
(2)若b=2，求三角形A,B,C面积的最大值
第二小题可以不用不等式做么？

Answer 1

（1）a=bcosC+ccosB=bcosC+csinB

所以tanB=1，B=π/4

（2）采用数形结合方法：

如图，设B为圆周上一动点，则有角B=45°。由于三角形ABC底边长为2，当B位于圆的最高点时，三角形高最大，为(√2+1)，此时三角形面积最大。

S=1/2*2*(√2+1)=√2+1

Answer 2

解：
(1)
过A做AD⊥BC与D
则BC=bcosC+csinB
=CD+AD
AD=BC-CD=BD
∴△ABD是等腰直角三角形
∴∠B=45°

(2)
问题就是求最大值，肯定跟不等式有关联啦，没有办法彻底回避。
CD=2cosC
AD=2sinC
BC=2sinC+2cosC
S=AD*BC/2
=2sinC(sinC+cosC)
=2sin²C+2sinCcosC
=1-cos2C+sin2C
=√2sin(2C+3π/4)+1
≤√2+1
因此最大值是√2+1
当C=3π/8时取得最大值。

Answer 3

sinA=sinBcosC+sinCsinB~sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB~sinBcosC+sinCcosB=sinBcosC+sinCsinB~sinB=cosB~B=45 第二问与上差不多

Answer 4

AD垂直BC于D
BD=c cos B
CD=b cos C

所以sin B =cos B
B=45

然后用余弦定理
b^2=a^2+c^2-2ac cosB
4=a^2+c^2-(根号2)ac >=(2-根号2)ac
S=(1/2)ac sinB =(根号2)ac /4<=....