Question

线性代数，向量组等价与矩阵等价的区别与联系？

向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价；矩阵A＝（α1，…αm）与矩阵B＝（β1，…，βm）等价；这两个选项有什么不同？其中α和β的维数为n

Answer 1

两个向量组等价就是说向量组可以相互表示也就是说(I)中的每个向量可以有(II)中的向量组线性表示，(II)中的向量组可以有(I)中的向量组线性表示，这显然可以推出A和B等价
但是A和B等价确推不出这两个向量组等价
例子A=1 2 B= 0 0
0 0 1 2
AB等价但是向量组(1,0),(2,0)和(0,1)(0,2)不等价

Answer 2

向量组等价是说向量组可以相互线性表出
矩阵A，B等价是说矩阵A、B可以相互线性表出，即A可以通过初等变换得到B，反之亦然。
你给的例子里面
向量组等价是矩阵等价的充分非必要条件
即在你给的例子中，A、B等价比向量组等价的条件更宽泛。

Answer 3

向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。
矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。
如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。
如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。
由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，
在行列数都相等的情况下，
两矩阵等价实际上就是秩相等，
反过来，
在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。
这与向量组等价略有区别：
向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，
但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。
举个简单例子：
向量组
A:
(1,0,0)，(0,1,0)
B:（0,0,1），(0,1,0)
两者秩都是2，但不能相互线性表示，因此不是等价的。、
而矩阵：
A:
1
0
0
0
1
0
B:
0
0
1
0
1
0
却是等价的