Question

在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量q=（2a，1），p=（2b－c，cosC）且p平行于q

（1）求sinA的值
（2）求三角函数式（（－2cos2C）/（1+tanC））+1的取值范围

Answer 1

解答：
（1）∵向量p∥向量q
∴(2b-c)/(2a)=cosC,
∴2b-c=2acosC=(a^2+b^2-c^2)/b,

∴2b^2-bc=a^2+b^2-c^2,
∴b^2+c^2-a^2=bc,
∴cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=1/2,
∴ sinA=√3/2.
（2）
A=60°
(-2cos2C)/(1+tanC) +1
=-2[(cosC)^2-(sinC)^2]/(1+sinC/cosC)+1
=-cosC(cosC+sinC)*(cosC-sinC)/(cosC+sinC)+1
=2cosC(sinC-cosC)+1
=2sinCcosC-2(cosC)^2+1
=sin2C-cos2C
=√2sin(2C-45°），
∵ 0<C<120°，
∴ -45°<2C-45°<175°
∴ sin(2c-45°)∈(-√2,1]
∴ 所求的取值范围是(-1,√2].

Answer 2

（1）在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量q=（2a，1），p=（2b－c，cosC）且p平行于q
2a*cosC=2b-c
余弦定理 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab 代入，得
2a*[(a^2+b^2-c^2)/2ab]=2b-c
a^2+b^2-c^2=2b^2-bc
所以 b^2+c^2-a^2=bc
cosA=( b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2
所以 A=π/3
sinA=√3/2

（2）三角函数式（（－2cos2C）/（1+tanC））+1的取值范围
（（－2cos2C）/（1+tanC））+1
=-2(cosC-sinC)(cosC+sinC)/[(cosC+sinC)/cosC]+1
=-2cosC(cosC-sinC)+1
=2sinCcosC-2cos^2C+1
=sin2C-cos2C
=√2sin(2C-π/4) A=π/3 0<C<2π/3
-π/4<2C-π/4<13π/12
-1<=sin(2C-π/4) <=1
（（－2cos2C）/（1+tanC））+1的取值范围 [-√2，√2]