Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e=√2/3

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e=√2/3,且椭圆C上的点Q(0，2)的距离的最大值为3.（1）：求椭圆C的方程，（2）：在椭圆上，是否存在M(m,n),使得直线L：mx+ny=1与圆o:x²+y²=1相交于不同的的两点A,B,且三角形OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的三角形OAB的面积，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)e=c/a=√2/3，c^2/a^2=2/9,a^2=9c^2/2,b^2=7c^2/2,
设椭圆上的点P为(acost,bsint),则
PQ^2=(acost)^2+(bsint-2)^2=a^2-c^2(sint)^2-4bsint+4
=-c^2[sint+2b/c^2]^2+4b^2/c^2+a^2+4=-c^2[sint+√14/c]^2+15/2+9c^2/2,
当c>=√14时PQ^2的最大值=15/2+9c^2/2=9，c^2=1/3,矛盾。
当c<√14时sint=-1,PQ^2取最大值：（b+2)^2=9,b=1,c^2=2/7,a^2=9/7,
椭圆C的方程是x^2/(9/7)+y^2=1.
(2)待续