Question

高二圆锥曲线题

已知双曲线(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) =1(a>b>0)右支上一点P在x轴上方，又A、B分别是椭圆(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) =1的左右顶点，连接AP交椭圆于点C，连接PB并延长交椭圆于D，若S△ACD=S△PCD
(1)求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角
(2)若CD恰好过椭圆的右焦点，则实数a,b满足什么关系？
如图

Answer 1

解：（1）设P点的坐标为(xo，yo)，依题意有xo>0，yo>0，则
xo²/a²-yo²/b²=1 …………①
因为△ACD与△PCD面积相等，所以C为段AP的中点。显然，点A、B的坐标分别为(-a，0)，(a，0)，
由中点公式可求得C((xo-a)/2，yo/2))，而C点在椭圆上，所以
[(xo-a)/2]²/a²+(yo/2)²/b²=1，化简得
(xo-a)²/a²+yo²/b²=4 …………②
①②联立解得
xo=2a，yo=√3b
所以P点的坐标为(2a，√3b)
进而由中点公式可求得C点的坐标为(a/2，√3b/2)
由点P和点B的坐标，可求得直线PD的斜率=√3b/a
进而可写出PD的直线方程为y=(√3b/a) (x-a)，与椭圆方程联立可求得交点D的坐标为(a/2，-√3b/2)
进而由点C和点D的坐标，可求得直线直线CD的倾斜角为90度。
（2）CD直线的直线方程为x=a/2，要使直线CD恰好过椭圆的右焦点，只有a/2=c，这个式子变形得
a²=4c²
a²=4(a²-b²)
3a²=4b²
a/b=2√3/3

Answer 2

P的轨迹是椭圆
焦距C方=2+3=5
由F1PF2最小值为1/9
当P在Y轴上时
这个角最大
cos值最小
4c方=a^2+a^2-2a^*1/9
所以
a^2=45/4
b^2=25/4
所以轨迹能得到

Answer 3

解：由第1）问可知，点P的轨迹方程式为4x^2/45+4y^2/25=1
(1)
设点M为（x1,y1）、点N为（x2,y2）,(-5/2<y2<5/2,包括等号)
由向量DM=K向量DN得，x1=kx2,y1-3=k(y2-3)(2)
分别将M、N代入（1）式会得到5（x1-x2）*（x1+x2）=-9(y1-y2)*(y1+y2)(3)
将（2）代入（3）就可得，25（k+1）=12(k-1)(y2-3),则k=(11-12y2)/(61-12y2)，所以-19/31<k<41/91
包括等于号