Question

已知a,b,c>0，求证：2(a³+b³+c³)+3abc≥3(a²b+b²c+c²a).

已知a,b,c>0，求证：2(a³+b³+c³)+3abc≥3(a²b+b²c+c²a).
a=b=c等号成立。

Answer 1

a³+b³+c³+3abc≥a²b+b²c+c²a+b²a+c²b+a²c
a³+b³+c³≥2(a²b+b²c+c²a)-(b²a+c²b+a²c)
第1式是schur不等式，等价于：a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)≥0，由于全对称，所以可以不妨设a≥b≥c>0
然后设
b=c+x
a=c+x+y
x≥0
y≥0

a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)
=(c+x+y)(x+y)y-(c+x)xy+cx(x+y)
=(c+x+y)(x+y)y-xxy+cxx
≥cxx
≥0

第2式整理之后是：(a³+b²a)+(b³+c²b)+(a²c+c³)≥2a²b+2b²c+2c²a
利用(a³+b²a)≥2a²b 显然。
1，2式子相加，得证。

Answer 2

题目错了吧
a=b=c时等式左边是5a^3，右边是3a^3

Answer 3

首先，我不是回答的，不要喷我
然后，你可以去百度贴吧不等式吧问问