Question

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边中点，（1）如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证:

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边中点，（1）如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证:△DEF为等腰直角三角形。（2）若EF分别为AB、CA延长线。完整题目如下

Answer 1

(1)连DE,DF,AD,EF.因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以AD=BD,角DAF=角DBE=45度，又BE=AF，所以三角形DAF全等于三角形DBE,从而 DE=DF, 角BDE=角ADF.这样角EDF=角EDA+角ADF=角EDA+角BDE=角BDA=90度，所以三角形DEF是等腰直角三角形。 (2)连DE,DF,AD,EF.仍然利用三角形ABC是等腰直角三角形，AD=BD，但此时E,F分别在AB,CA延长线上，所以角FAD=角EBD=135度，又AF=BE,所以三角形FAD全等于三角形EBD，因此DE=DF，角EBD=角FDA. 而角EDF=角EDB+角BDF=角ADF+角BDF=角ADB=90度，所以三角形DEF仍为等腰直角三角形。