Question

求函数的单调区间

设f（x）=（x+a）/（x+b） a、b为常数、且a＞b＞0、求f（x）的单调区间、并证明单调性

Answer 1

1.f(x)=(x+b+a-b)/(x+b) =1+(a-b)/(x+b) 所以这是一个类似于反比例函数y=1/x的函数 被x=-b分为两个单调区间 (-∞,-b),(-b,∞) PSSS: 不能把两个区间写成并集的形式只能分开写。 单调性的证明：得在两个单调区间内分别证明。 任意x1,x2∈(-∞,-b] ,x1>x2 f(x1)-f(x2) =(a-b)/(x1+b)-(a-b)/(x2+b) =(a-b)(x2-x1)(x1+b)(x2+b) 因为x1<-b x2<-b 所以x1+b<0 x2+b<0 所以f(x1)-f(x2)<0 任意x1,x2∈[-b,+∞) ,x1>x2 f(x1)-f(x2) =(a-b)/(x1+b)-(a-b)/(x2+b) =(a-b)(x2-x1)(x1+b)(x2+b) 因为x1>-b x2>-b 所以x1+b>0 x2+b>0 所以f(x1)-f(x2)<0 故函数在(-∞,-b]和[-b,+∞)上单调递减

Answer 2

设x1＜x2且≠-b，则x1-x2＜0，a-b＞0；则f（x2）-f（x1）=（x2+a）／（x2+b）-（x1+a）／(x1+b）=[（x2+a）×（x1+b）-(x1+a）×（x2+b)]／[(x1+b)×(x2+b)]=[（x1-x2)(a-b)]／[(x1+b)×(x2+b)]＜0所以函数在定义域：﹛x|x≠b﹜上单调递减。