Question

2013-2014九年级数学期中考试25题

请问第三问求解析式的详细步骤是什么？
说明做题思路也可以，请不要出现三角函数。并说明为什么可以在最小值时写：∠GND=2∠DON,N于M关于O点中心对称 两个条件。谢谢

Answer 1

设想三角形GNM， GM长度小于等于这个三角形的另外两条边长GN和NM之和，并且等号成立的时候G,N,M共线。同样，对于三角形NOM，NM小于等于另外两边ON和OM之和，并且等号成立的时候O,N,M共线，即N和M关于原点对称。 所以GM取最大值的时候G，N,O,M共线，三角形DNO是等腰三角形（DN=ON），故有∠GND=2∠DON（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。

追问

谢谢，你知道解析式怎么求吗？

追答

解析式用三角函数表示比较简单，但是你应该还没学过。这个解析式至少有两个变量，表示起来有点复杂，很难从不用三角函数的解析式去求最大值。当然还是可以表示出来的。
坐标系中两点之间距离，可以分别求出两点坐标，再用勾股定理求。M点坐标很好设，比如横坐标设X，再用勾股定理去求纵坐标。 至于点G，可以分别做点N，G在X轴上的垂线，分别设为点H和点I。 三角形DHN和三角形GID相似。设OD为Y，则GI为Y，则G的纵坐标为-Y。勾股定理求出ID长度，则G的横坐标也可以表示出来了。

追问

额，M点的纵坐标怎么求？GDI和DHN是那两个角？可是GI长从图上看大于OD长的，勾股我也算不出来ID的长度。好吧原谅我智商捉鸡，想不出来解题方法。
我会追加悬赏当作补偿，谢谢。

追答

设M点横坐标为X，则纵坐标为 根号（25-X的平方）
分别做点N,G在X轴上的垂线，垂足分别为H,I。
注意角GDI和角NDH互余，所以直角三角形GDI和DNH相似。GD长度是DN的两倍，故GI是DH的两倍。三角形DNO是等腰三角形，故DH是DO的一般。所以GI等于OD。