Question

高二数学题目，急

（1）已知圆O,X�0�5+Y�0�5=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1(9，0),且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21,。过定点P(a,b)作动直线l与圆o，圆O1都相交，且直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1,若d与d1的比值总等于同一常数m,求点P的坐标及m的值（2）如图，已知椭圆x�0�5/4+y�0�5=1，A、B是四条直线x=2,x=-2,y=1.y=-1所围成的两个顶点，若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由

Answer 1

（1） 解：（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，
∴圆O1的半径为4，
∵圆心为O1（9，0），
∴圆O1的标准方程为（x-9）2+y2=16；
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），即kx-y-ka+b=0
∴O，O1到直线l的距离分别为h=|ka-b|1+k2，h1=|-9k+ka-b|1+k2
∴d=264-(|ka-b|1+k2)2，d1=216-(|-9k+ka-b|1+k2)2
∵d与d1的比值总等于同一常数λ，
∴64-(|ka-b|1+k2)2=λ2[16-(|-9k+ka-b|1+k2)2]
∴[64-a2-16λ2+λ2（a-9）2]k2+2b[a-λ2（a-9）k+64-b2-λ2（16-b2）=0
由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64-a2-16λ2+λ2（a-9）2=0，2b[a-λ2（a-9）]=0，64-b2-λ2（16-b2）=0同时成立，
①如果b=0，则64-λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；
∴λ=2，P（6，0），P（18，0）
②如果a-λ2（a-9）=0，显然a=9不满足，从而λ2=aa-9，3a2-43a+192=0，△=432-4×3×192=-455＜0，故方程无解，舍去；
当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=47，d1=27，∴dd1=2也满足
综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0）．

（2）解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
设P（x0，y0），则x024+y02=1．由OP=mOA+nOB，得x0=2(m-n)y0=m+n，
所以4(m-n)24+(m+n)2=1，即．故点Q（m，n）在定圆x2+y2=12上．…（8分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1y2x1x2=-14．
平方得x12x22=16y12y22=(4-x12)(4-x22)，即x12+x22=4．…（10分）
因为直线MN的方程为（x2-x1）x-（y2-y1）y+x1y2-x2y1=0，
所以O到直线MN的距离为d=|x1y2-x2y1|(x2-x1)2+(y2-y1)2，…（12分）
所以△OMN的面积S=12MN�6�1l=12|x1y2-x2y1|=12x12y22+x22y21-2x1x2y 1y2
=12x12(1-x224)+x22(1-x124)+12x12x22=12x12+x22=1．
故△OMN的面积为定值1．…（16分）