Question

如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线分别交于DC/BA的延长线于F,E,求证AE=CF

Answer 1

【证法1：用平行四边形】

证明：

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB//CD

∵E在BA的延长线上，F在DC的延长线上

∴AE//CF

∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD

 ∠BAD=∠BCD（平行四边形对角相等）

∴∠BAF=∠DCE

∵AB//CD

∴∠DCE=∠E（两直线平行，内错角相等）

∴∠BAF=∠E

∴AF//EC（同位角相等，两直线平行）

∴四边形AFCE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

∴AE=CF（平行四边形对边相等）

【证法2：用全等】

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD

∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD

∴∠BCE=∠DAF

∴△BCE≌△DAF（ASA）

∴BE=DF

∵AE=BE-AB，CF=DF-CD

∴AE=CF

Answer 2

证明：在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，AB//CD。
∴∠BAF=∠CFA。
∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD。
∴∠DCE=∠BCD/2，∠BAF=∠BAD/2。又∵∠BAD=∠BCD。
∴∠DCE=∠BAF。又∵∠BAF=∠CFA。
∴∠DCE=∠CFA。∴AF//CE。又∵AB//CD。∴四边形AECF为平行四边形。
∴AE=CF。

Answer 3

设AF CE分别交BC AD于H G
因为ABCD为平行四边形 AF CE分别为BAD BCD的角平分线
所以BCE=CGD=HAD
所以AH//GC 又因BE//DF 即AE//FC
所以AECF是平行四边形 所以AE=CF