Question

已知在△ABC中，∠A,∠B,∠C对边分别为a，b，c，

如图，已知抛物线y=－x2＋ax＋b与x轴从左到右相交于A、B两点，与y轴交与点C，且∠BAC＝α，∠ABC＝β，tanα－tanβ＝2∠ACB＝900 （1） 求C点坐标（2）求抛物线解析式（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积。 已知抛物线y＝x2－mx＋m－2，（1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点（2）若m是整数，抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交与整点（横纵坐标为整数的点），求m的值。（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的交点中，右侧交点为B。若M为坐标轴上一点，且MA＝MB，求点M的坐标。

Answer 1

一：设c(0,-b) b(x2,0) a(x1,0)
因为向量CB*CA=0
带入坐标等到CB*CA=-b+b^2=0
所以b=0（舍）或者b=1
所以C为（0,1）
所以tgα=0C/0A=-1/x1 tgβ=1/x2
所以带入 tgα-tgβ=2得到 1/x1+1/x2=-2
所以（x1+x2）/(x1x2)=-2
又因为x1+x2=a x1*x2=-1
所以a=2
所以y=-x^2+2x+1=-（x-1）^2+2
顶点p为（1，2）设P在X上的投影为Q
把四边形ABPC的面积看成三角形（OAC）（PQB）和四边形(OCPQ)的三面积之和就得到答案 1.当y=x^2-mx+m-2=0时，抛物线与x轴有交点。
x^2-mx+m-2=0 -->Δ=m^2-4m+8=[(m-2)^2+4]>0,
∴x1≠x2。
2.抛物线y=x^2-mx+m-2与x轴交于整数点时，
Δ=[(m-2)^2+4]=n^2，---->n=2,m=2时，Δ=4，x1=0，x2=2.
3.抛物线y=x^2-2x的顶点A=A(1,-1)。B=B(2,0)。
直线AB的斜率=1/1=1。
AB的中点C=C(3/2,-1/2)。过C且⊥AB的直线方程为：
l=y+1/2=-1(x-3/2)。
l与x轴交于M1(1,0),与y轴交于M2(0,1)。