Question

关于matlab多元非线性问题 现有一个公式y=(0.0682+0.0007x1-0.0001x2)/(1-0.0017x2) 测得实验数据如下

x1=[0 30 -15 -30 15 60 0 30 -15 15 45 60 0 30 60 45 -30 0 15 30 45 60 -30 0 15 30 60 -15 -30 0 30 60 60 45 -15 -30 0 30 60]';
x2=[148 143 153 155 164 179 178 143 157 170 161 175 180 330 462 350 356 342 399 366 372 415 450 396 548 550 509 634 616 494 420 552 486 484 359 265 438 292 273]';
Y=[0.04 0.127 0.039 0.000 0.060 0.179 0.046 0.087 0.038 0.063 0.198 0.183 0.041 0.066 0.203 0.181 0.019 0.054 0.049 0.101 0.192 0.224 0.014 0.052 0.043 0.051 0.270 0.029 0.010 0.040 0.061 0.099 0.181 0.120 0.020 0.007 0.028 0.056 0.079]';
我要怎么检验公式与实验数据的拟合效果？
公式y=(0.0682+0.0007*x1-0.0001*x2)/(1-0.0017*x2)

Answer 1

问题分析

1、这个公式的拟合效果只能算是比较一般，很容易可以找到更好的公式（形式不变，只改系数）。

2、拟合效果（Goodness of fit）的检验比较复杂，据说有拟合度、相关系数、F统计量、剩余标准偏差等，具体定义和术语也不是很统一。简单情况下，可以用残差平方和进行比较。

 

参考代码

前面x1、x2、Y定义省略：

y=(0.0682+0.0007*x1-0.0001*x2)./(1-0.0017*x2);
f = @(c,x) (c(1)+c(2)*x(:,1)+c(3)*x(:,2))./(1+c(4)*x(:,2));
X = [x1 x2];
c0 = [0.0682 0.0007 -0.0001 -0.0017];
c = lsqcurvefit(f,c0,X,Y)
y2 = f(c,X);
plot([Y y y2],'.-')
legend('原始数据','原拟合公式','改进拟合公式',2)
sum((y-Y).^2)
sum((y2-Y).^2)

由图可以看到，新的系数拟合效果要好很多，计算的残差平方和如下：

ans =
    1.2017

ans =
    0.0540

显然，后一种的残差小很多。

追问

大神！按您给的程序运行后，出现
Local minimum possible.

lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to
its initial value is less than the default value of the function tolerance.
是什么意思呢？

追答

提示优化结束的原因以及有可能是局部最优点。事实上，各种优化算法都不能保证全局最优。
如果你得到的结果和我相同，可以忽略该提示。

追问

对的！结果是不是
c =

0.0539 0.0019 -0.0000 -0.0000
那最后的公式岂不变成y=0.0539+0.0019*x1,与x2无关了吗？如果要继续优化的话，是不是只能改变原公式的形式了呢？

追答

后两项并不是0，只是数值比较小，在显示4位小数的情况下无法显示出有效数字而已。

>> num2str(c)
ans =
0.053923   0.0019474 -1.2566e-005 -1.0041e-005

追问

非常非常感谢！按您之前说的，我想通过计算相关系数、F统计量来评价拟合效果，我应该怎么编程呢？还有，图中的横坐标指什么？

追答

横坐标是数据点的个数。

对这个问题拟合效果的评价，使用残差平方和（范数）既方便也很实用。
关于相关系数、F统计量的概念和计算，我查了一些资料，思路还比较乱，帮不了你更多。请你自己查阅相关资料吧。