Question

rt三角形中，角bac=90°ab=ac=2以ac为一边在三角形abc外部作等腰三角形acd，则b

rt三角形中，角bac=90°ab=ac=2以ac为一边在三角形abc外部作等腰三角形acd，则bd的长为 3种结果的过程都要，最好有图

Answer 1

∠BAC＝90°, AB=AC=2
从AC边向三角形外作等腰直角三角形，有三种，如图：△ACD，△ACD' 和△ACD''。

(1)作AD⊥AC，AD=AC=2，则ACD为等腰直角三角形。
∵∠BAC＝∠DAC＝90°
∴点A在直线BD上
BD=BA+AD=2+2=4
BD=4

(2)以AC为斜边的等腰直角三角形
则除了直角外的两角都为45°。
从A点和C点分别作与AC边成45角的射线交于D'。
则AD'C为等腰直角三角形。
AD'=CD'=AC·sin45°=2/√2=√2
作D'E⊥AD于E。
∵∠D'EA=∠EAC=90°
∠D'EA+∠EAC=180°
∴ED'//AC (同旁内角互补，两直线平行。)
∴∠AD'E=∠CAD'=45°
Rt△AED'中
ED'/AD'=cos45°
ED'=1
AE=AD'·sin45°=(√2)/(√2)=1
(BD')^2=(BA+AE)^2 + (ED')^2 = 3^2 + 1^2= 10
BD'=√10

(3)作CD''⊥AC，CD''=AC=2，则ACD''为等腰直角三角形。作D''D垂直于BA的延长线并交于点D。
AC/AD''=sin45°=1/√2
AD''=2√2
∵CA⊥BD, CD''⊥AC, DD''⊥AD
∴ADD''C为正方形。
DD''=AD=AC=CD''=2
BDD''为直角三角形。
(BD'')^2=(BD^2) + (DD''^2)= (BA+AD)^2 + (DD''^2)= (2+2)^2 + (2^2)=20
BD''= √20 = 2√5