Question

已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径做○o,BC交圆o于点D,E为边AC的中

已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径做○o,BC交圆o于点D,E为边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F。
求证：（1） DE为圆o的切线
（2） AB*DF=AC*BF

Answer 1

证明：

（1）

连接AD，OD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°

∴∠ADC =90°

∵E是AC的中点

∴DE=AE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∴∠EDA=∠EAD

∵OD=OA

∴∠ODA=∠OAD

∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠OAD

即∠EDO=∠EAO=90°

∴DE是⊙O的切线

（2）

∵DE是⊙O的切线，即DF是⊙O的切线

∴∠FDB=∠FAD（弦切角等于它夹弧所对的圆周角）

又∵∠F=∠F

∴△FDB∽△EAD（AA）

∴BF/DF=BD/AD

∵∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠CBA（公共角）

∴△BDA∽△BAC（AA）

∴BD/AD=AB/AC

∴AB/AC=BF/DF

∴AB×DF=AC×BF