Question

一道高中数学题，求过程，谢谢

Answer 1

Answer 2

　　
（1）1、当n=1时，由已知a2=f(a1)=a1-sina1,0<a1<1,得0<a2<1,结论成立.
2、假设当n=k时结论成立，即0<ak<1.
因为0<x<1时，f，(x)=1-cosx>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数，又f(x)在[0,1]上连续，从而f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak+1<1-sin1<1.故 当n=k+1时，结论成立。由1、2、可知，0<an<1对一切正整数都成立。
（2）因为0<an<1时，an+1-an=an-sinan-an=-sinan<0,
所以an+1<an
(3) 设函数g(x)=sinx-x+1/6x3,0<x<1.
由上题知，当0<x<1时，sinx<x.
从而g,(x)=cosx-1+x2/2=-2sin2(x/2)+x2/2>-2(x/2)2+x2/2=0
所以g(x)在（0,1）上是增函数，又g(x)在[0,1]上连续，且g(0)=0,
所以当0<x<1时，g(x)>0成立。于是g(an)>0,即sinan-an+1/6x3>0.
故an+1<1/6an3