Question

矩阵、线性变换





Answer 1

由(g(x),h(x))=1,知存在u(x),v(x),使得
u(x)g(x)+v(x)h(x)=1
所以 u(σ)g(σ)+v(σ)h(σ)=E （E为单位变换）
则对任意的α∈V,有
α=u(σ)g(σ)α+v(σ)h(σ)α
因为h(σ)u(σ)g(σ)α=u(σ)h(σ)g(σ)α=u(σ)f(σ)α=0
所以u(σ)g(σ)α∈ker(h(σ))，同理v(σ)h(σ)α∈ker(g(σ))
故V包含于ker(g(σ))+ker(h(σ))，
但显然ker(g(σ))+ker(h(σ))包含于V，
所以V=ker(g(σ))+ker(h(σ).
又对任意的a∈ker(g(σ))∩ker(h(σ),
则α=u(σ)g(σ)α+v(σ)h(σ)α=0+0=0
所以ker(g(σ))∩ker(h(σ)={0}
V等于er(g(σ))与ker(h(σ)的直和。