Question

大学高数问题，请教详细过程，谢谢!

Answer 1

F(ax+by, by+cx)=0 ? 看不清 ！

追问

设F(u,v)具有一阶连续偏导数，求证曲面F(ax+bz,by+cz)=0的任一切平面都平行于某固定的直线（其中a,b,c是不为零的常数）

追答

F(ax+bz, by+cz)=0
记 u=ax+bz， v=by+cz， 则
F'=aF', F'=bF', F'=bF'+cF'
则 曲面的法向量是 n={aF', bF', bF'+cF'}，
设一条直线的方向向量 s={-b, -ac/b, a},
得 s·n=0, 故 曲面 F(ax+bz, by+cz)=0的切平面
都平行于方向数为 s={-b, -ac/b, a} 的直线。

追问

直线的方向向量是怎么设出来的?

追答

通过观察凑出来的

追问

怎么凑?

追答

若想使得 s·n=0， 设定 s 的第3个分量为 a，
则得第1个分量应为 -b，第2个分量应为 -ac/b。