Question

一道微分方程题目，高分求详细过程

微分方程y''-2y'+y=0的通解为：
（用一下思路解：令y'=p y''=p*(dp/dy)）

Answer 1

令 y'=p 则 y''=p(dp/dy)，
微分方程变为 p(dp/dy)-2p+y=0，
即为 dp/dy=2-y/p 是齐次方程。
再令 p=zy，齐次方程变为 z+ydz/dy=2-1/z,
化为 ydz/dy=-(z-1)^2/z,
即 zdz/(z-1)^2=-dy/y 为分离变量型微分方程。
可化为 [1/(z-1)+1/(z-1)^2]dz=-dy/y
ln(z-1)-1/(z-1)=-lny+lnC1
(z-1)/e^[1/(z-1)]=C!/y,
p-y=C1e^[y/(p-y)]
成为 p 的隐函数，不便解出 p。
此思路不可取。