Question

已知抛物线y=x2+mx-3/4m2（m>0）与x轴交于a，b两点。（1）若1/OB-1/OA=2

已知抛物线y=x2+mx-3/4m2（m>0）与x轴交于a，b两点。（1）若1/OB-1/OA=2/3（o为坐标原点），求抛物线的解析式 (2)设抛物线与y轴交于点c，若三角形abc是直角三角形，求三角形abc的面积
第二题怎么做（麻烦用初三上学期的办法，相似还没学）？麻烦老师了

Answer 1

已知抛物线y=x²+mx-(3/4)m²(m>0)与x轴交于A，B两点。(1)若1/OB-1/OA=2/3(O为坐标原点），求抛物线的解析式 ；(2)设抛物线与y轴交于点C，若三角形ABC是直角三角形，求三角形ABC的面积.

解：(1)。设OA=x₁，OB=x₂；x₁+x₂=-m；x₁x₂=-(3/4)m²；∵m>0，∴x₁与x₂必异号；设x₁<0，x₂>0；
且∣x₁∣>∣x₂∣；那么：
1/OB-1/OA=1/x₂-1/x₁=(x₁-x₂)/(x₁x₂)=-∣x₁-x₂∣/(x₁x₂)=-√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]/x₁x₂=-[√(m²+3m²)]/[(-3/4)m²]
=-2m/[(-3/4)m²]=8/(3m)=2/3，故m=4；于是得解析式为y=x²+4m-12；
(2)。y=x²+mx-(3/4)m²(m>0)；令x=0，得y=OC=-(3/4)m²<0，即开口朝上的抛物线与y轴的交点C在y轴的负向上，因此抛物线与x轴的交点A和B必分置于y轴的两侧；设向量OA=(x₁，0)【x₁<0】；向量OB=(x₂，0)【x₂>0】；向量OC=(0，-(3/4)m²)；
向量AB=(x₂-x₁，0)，∣AB∣=√(x₂-x₁)²=√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√(m²+3m²)=2m；
向量AC=(x₁，-(3/4)m²)；向量BC=(x₂，-(3/4)m²)；
∣AC∣=√[(x₁)²+(9/16)m⁴]；∣BC∣=√[(x₂)²+(9/16)m⁴]；△ABC是RT△，且C为直角，故有等式：
∣AC∣²+∣BC∣²=∣AB∣²，即有(x₁)²+(9/16)m⁴+(x₂)²+(9/16)m⁴=4m²............(1)；
其中(x₁)²+(x₂)²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²+(3/2)m²=(5/2)m²，代入(1)式得：
(5/2)m²+(9/8)m⁴=4m²，m≠0，消去m²得(9/8)m²=3/2，m²=4/3，m=√(4/3)=(2/3)√6；
故∣AB∣=2m=(4/3)√6；∣OC∣=∣-(3/4)m²∣=(3/4)m²=1；
于是得△ABC的面积S=(1/2)∣AB∣∣OC∣=(1/2)[(4/3)√6]=(2/3)√6.

Answer 2

AB 乘 OC除以2

追问

那么AB等于多少？

追答

①你不求了么，解析式知到，y等于0一姐

Answer 3