Question

高中数学题 圆锥曲线

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是什么？

Answer 1

解：由题设易知，点F(c,0),A(a²/c,0).可设点P(acost,bsint).(t∈R)
∵由题设应有|PF|=|AF|，∴由两点间的距离公式可得：
（acost-c）²+(bsint) ²=[(a²/c)-c] ²
展开，整理可得：
c²cost=c²+ac-a².
两边同除以a²,结合e=c/a可得
e²cost=e²+e-1.
∴cost=(e²+e-1)/e².又∵-1≤cost≤1.
∴-1≤(e²+e-1)/e²≤1.
-e²≤e²+e-1≤e².
∴1/2≤e＜1.

Answer 2

有题知|FP|=|FA|=a²／c－c.
P在椭圆左端点时，可得a+c=a²／c－c.此时e=0.5

P在短轴顶点时可得a=a²／c－c.解得e=（√5－1）／2
离心率取值范围[0.5，（√5－1）／2]。

Answer 3

经过我的运算 我认为第二个答案正确！！！ 我是这样想的，首先题目中说到垂直平分线则可用到垂直平分线定理，其次我运算 核心步骤为 a-c<b^2 /c (<=) a+c