Question

已知函数f(x)ax+a-1/x(a∈R),g(x)=Inx.(1)若对任意的实数a,函数f(x)

的图像在x=x0处的切线斜率总相等，求x
0的值；（2）若a〉0，对∀x＞0不等式f（x）-g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

参考啦a已知函数f(x)=(1/3)ax^3-(1/2)x^2-(1/6)，a∈R。若f(x)≥Inx恒成立，求实数a的最小值。
解析：∵函数f(x)=(1/3)ax^3-(1/2)x^2-(1/6)，a∈R
令f’(x)=ax^2-x=0==>x1=0,x2=1/a
f’’(x)=2ax-1==> f’’(0)=-1<0，f’’(1/a)=1
当a=0时，f(x)=-(1/2)x^2-(1/6)，f(x)在x=0处取极大值-1/6；
∴x>0时，f(x)单调减；
当a>0时，f(x)在x=0处取极大值，在x=1/a处取极小值；
∴0<x<1/a时，f(x)单调减；x>=1/a时单调增；
当a<0时，f(x)在x=0处取极大值，在x=1/a处取极小值；
∴x>0时，f(x)单调减；
∵函数g(x)=lnx，在定义域内单调增，g(1)=0
f(1)=(1/3)a-(1/2)-(1/6)=0==>a=2
f’’(1)=2a-1==2*2-1=3>0，f(x)在x=1处下凹，g(x)上凸
∴当a>=2时，f(x)≥Inx恒成立
∴实数a的最小值为2
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