Question

已知线性方程组（1）当a和b如何时，方程组无解，（2）当a和b如何时，方程组有唯一解，且解为

（3）当a和b如何时，方程组有无穷解，且通解为
x1-3x2+0x3=-7
1x1-2x2+1x3=-5
-2x1+5x2-1x3=b
3x1-x2+ax3=-5
给详解

Answer 1

写出增广矩阵为
1 -3 0 -7
1 -2 1 -5
-2 5 -1 b
3 -1 a -5 第3行加上第2行×2，第2行减去第1行，第4行减去第1行×3
～
1 -3 0 -7
0 1 1 2
0 1 1 b-10
0 8 a 16 第1行加上第2行×3，第3行减去第2行，第4行减去第2行×8
～
1 0 3 -1
0 1 1 2
0 0 0 b-12
0 0 a-8 0 交换第3和第4行
～
1 0 3 -1
0 1 1 2
0 0 a-8 0
0 0 0 b-12

1、
显然在b≠12时，
增广矩阵的秩R(A,b) 一定大于系数矩阵的秩R(A)，
即b≠12时，方程组无解

2、
b=12，而a-8≠0即a≠8时，
增广矩阵的秩R(A,b)等于系数矩阵的秩R(A)等于3，
也就是未知数的个数，
所以方程组有唯一解，
即化简得到
1 0 3 -1
0 1 1 2
0 0 1 0
0 0 0 0 第1行减去第3行×3，第2行减去第3行
～
1 0 0 -1
0 1 0 2
0 0 1 0
0 0 0 0
解得(x1,x2,x3)^T=(-1,2,0)^T

3、
b=12，而a-8=0即a=8时，
增广矩阵的秩R(A,b)等于系数矩阵的秩R(A)等于2，
小于未知数的个数3，
所以方程组有无穷解

1 0 3 -1
0 1 1 2
0 0 0 0
0 0 0 0
通解有3-R(A)=3-2=1个向量，

即(-3,-1,1)^T，而特解为(-1,2,0)^T
所以得到方程组的解为
C*(-3,-1,1)^T +(-1,2,0)^T，C为常数

Answer 2

题目没看懂。。你那是乘号还是字母x啊？

追问

- -明显字母x