Question

设奇函数fx在（0，正无穷）上为增函数,且f(1)=0，则不等式（x-1)f(x-1)<0的解集

和网上别的题目有区别 求细节 谢谢~

Answer 1

设t=x-1
则原不等式化为t·f(t)<0 ①
由于t=0时不等式不成立，从而
分两种情况：
（1）t>0，从而不等式①可化为
f(t)<f(1)
由于 f(x)在(0，+∞)上增，于是
0<t<1，
即 1<x<2；
（2）t<0时，由于f(x)是奇函数，有f(-1)=-f(1)=0
从而 不等式①可化为
f(t)>f(-1)
又奇函数在原点两侧具有相同的单调性，
从而 有 -1<t<0
即 0<x<1
于是，原不等式的解集为{x|0<x<1或1<x<2}.

Answer 2

设x-1=t 奇函数f(t)在（0，正无穷）上为增函数,且f(1)=0 所以t>1, f(t)>f(1)=0 0<t<1 f(t)<f(1)=0
是奇函数，所以-1 <t<0,f(t)>0 t<-1 f(t)>0
tf(t)<0
则需0<t<1或-1<t<0
即0<x-1<1或-1<x-1<0
解得1<x<2或0<x<1