Question

已知f(x)＝aa2?1(ax?a?x) (a＞0且a≠1)．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你

已知f(x)＝aa2?1(ax?a?x) (a＞0且a≠1)．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，2f（x）-3b≥0恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（ I）函数定义域为R，
∵f(x)＝

a

a2?1

(ax?a?x) (a＞0且a≠1)．
∴f(?x)＝

a

a2?1

(a?x?ax)＝?f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（ II）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
∴f(x1)?f(x2)＝

a

a2?1

[(ax1?a?x1)?(ax2?a?x2)]=

a

a2?1

(ax1?ax2+a?x2?a?x1)＝

a

a2?1

(ax1?ax2+

1

ax2

?

1

ax1

)
=

a

a2?1

(ax1?ax2+

ax1?ax2

ax1+x2

)＝

a

(a+1)(a?1)

(ax1?ax2)(1+

1

ax1+x2

)，
当a＞1时，

a

(a+1)(a?1)

＞0，ax1?a