Question

已知函数f（x）=-x3+ax2+bx在区间（-2，1）内，当x=-1时取得极小值，当x=23时取得极大值．（1）求函数y=f

已知函数f（x）=-x3+ax2+bx在区间（-2，1）内，当x=-1时取得极小值，当x=23时取得极大值．（1）求函数y=f（x）在x=-2时的对应点的切线方程．（2）求函数f（x）在[-2，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx，∴f′（x）=-3x²+2ax+b（2分），
∵函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在x=

2

3

处取得极大值，
∴f′（-1）=0，f′（

2

3

）=0（6分），
∴-3（-1）²+2a×（-1）+b=0，
-3×(

2

3

)2+2a?

2

3

+b=0，
联立求解得a=-

1

2

，b=2，
∴f（x）=-x³-

1

2

x²+2x，
∴f（-2）=2，f′（-2）=-8，
∴切线方程为：8x+y+14=0．
（2）（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=-x³-

1

2

x²+2x，
当x∈[-2，1]时，f（x）在[-2，-1）递减，在（-1，

2

3

）递增，在（

2

3

，1]递减，
∴f（x）_极小值=f（-1）=-

3

2

，f（x）_极大值=f（

2

3

）=

22

27

，
又f（-2）=2，f（1）=

1

2

，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-

3

2

．