Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2?b2＝233acsinB．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，且A

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2?b2＝233acsinB．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，且A∈(π6，π2)，求a+c的取值范围．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB，
∴

a2+c2?b2

2ac

=

3

3

sinB，即cosB=

3

3

sinB，
∴tanB=

3

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

；
（2）∵b=

3

，
∴

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴

a+c

sinA+sinC

=2，即：a+c=2（sinA+sinC），
又∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，设A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

3

＜α＜

π

3

，
∴

1

2

＜cosα≤1，
∴a+c=2（sinA+sinC）=4sin

π

3

?cosα=2

3

cosα，
∴

3

＜a+c≤2

3

．