Question

已知函数f（x）=x|x+2|-2x-1（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出函数的

已知函数f（x）=x|x+2|-2x-1（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出函数的单调区间．

Answer 1

（1）∵当x≥-2时，f（x）=x|x+2|-2x-1=x（x+2）-2x-1=x²-1；
当x＜-2时，f（x）=x|x+2|-2x-1=x（-x-2）-2x-1=-x²-4x-1
∴函数用分段函数的形式表示为f（x）=

x2?1  (x≥?2) ?x2?4x?1  (x＜?2)

…（4分）
（2）∵当x≥-2时，f（x）=x²-1，
函数图象是抛物线y=x²-1位于直线x=-2右侧部分；
当x＜-2时，f（x）=-x²-4x-1，
函数图象是抛物线y=-x²-4x-1位于直线x=-2左侧部分
∴函数y=f（x）图象由抛物线y=x²-1位于x=-2右侧部分与抛物线
y=-x²-4x-1位于x=-2左侧部分拼接而成，
因此作出函数y=f（x）图象，如图右图所示…（10分）
（3）由（2）所作的函数图象，可得
函数f（x）的单调增区间是（-∞，-2）和（0，+∞）
单调减区间是（-2，0）…（14分）